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Il existe plusieurs façons de calculer l'aire d'un triangle. Cela dépend avant tout des données disponibles.

Tout triangle étant la moitié d'un parallélogramme, l'aire d'un triangle équivaut à la moitié de l'aire d'un parallélogramme: A = \frac{1}{2}\times{b}\times{h} , où b représente la base et h la hauteur.

Dans un repère cartésien d'un plan, les données (en l'occurrence, les sommets du triangle) sont présentées sous la forme de coordonnées définies par deux axes de coordonnées: l'abscisse (ou l'axe des X) et l'ordonnée (ou l'axe des Y). Les segments (côtés) du triangle étant caractérisés par des vecteurs, l'aire se calcule facilement à partir du produit vectoriel de deux des vecteurs.

Cependant, il est également possible de calculer l'aire d'un triangle en identifiant la longueur des 3 vecteurs et en utilisant la formule de Héron, ou bien en calculant le déterminant des 3 sommets du triangle, ou encore en calculant le déterminant des coordonnées de 2 des vecteurs, ou enfin en utilisant la formule de base après avoir évalué la hauteur, représentée par la distance entre un des sommets et le côté opposé, et la longueur de la base.

Un des cas les plus simples est celui du triangle rectangle. La hauteur s'identifie rapidement par le fait qu'elle correspond à l'un ou l'autre des deux vecteurs adjacents à l'angle droit.

Afin d'illustrer ce qui vient d'être dit, nous allons calculer l'aire du triangle situé à droite (Fig. 1) de différentes manières.

Triangle quelconque

Fig.1 Triangle quelconque dans un repère orthonormé dont les sommets ont pour coordonnée cartésienne : A(7,3); B(1,9); C(18,8).

== MConsidérons avant tout que le côté AB

Méthode par l'évaluation de la hauteur Modifier

Cette méthode consiste à évaluer la hauteur 'AE' (voir Fig.2) afin d'utiliser la formule de base A = \frac{1}{2}\times{b}\times{h}. Pour se faire, il nous faut déterminer l'équation de la droite passant par BC, puis calculer la distance entre le point A et la droite.

Équation de la droite passant par BC:

Sous la forme ax+by+c = 0 => \dfrac{-1}{17}x -y + \dfrac{154}{17} = 0 (a=\dfrac{-1}{17}; b=-1; c=\dfrac{154}{17}).

Distance entre A et la droite passant par BC (hauteur h):

La base b équivaut à \overline{BC}=\sqrt{290} déterminé dans la méthode 2.


\begin{array}{r c l}
y-y_A & = & m_2 \cdot (x - x_A) \\
y-3 & = & 17 \cdot (x - 7)  \\
y & = & 17x -119 + 3 \\
y & = & 17x - 116
\end{array}

Coordonnées du point E:
Pour trouver les coordonnées du point E, il faut soumettre les équations des deux droites dans un système d'équations linéaires afin de retrouver les deux inconnues x et y qui représentent l'intersection des deux droites.


\left\{
\begin{array}{r c l}
y & = & \dfrac{-x + 154}{17} \\
y & = & 17x - 116
\end{array}
\right.



\begin{array}{r c l}
\dfrac{-x + 154}{17} & = & 17x - 116 \\
-x + 154 & = & 289x - 1972 \\
-x - 289x & = & -154 - 1972 \\
-290x & = & -2126 \\
x & = & \dfrac{2126}{290} \\
\end{array}


Les coordonnées du point sont E \left( 7+\dfrac{48}{145}, 8+\dfrac{91}{145} \right)

Longueur de la hauteur AE:


\begin{array}{r c l}
\overline{AE} & = & \sqrt{ \left( 7+\dfrac{48}{145}-7 \right)^2+ \left( 8+\dfrac{91}{145}-3 \right)^2} \\
\ & = & \sqrt{ 31 + \dfrac{113}{145}}
\end{array}

Aire du triangle:

\begin{array}{r c l}
Aire & = & \dfrac{b \cdot h}{2} \\
& = & \dfrac{\sqrt{290} \cdot \sqrt{ 31 + \dfrac{113}{145}}}{2} \\
& = & 48
\end{array}

Méthode par le déterminant de 2 vecteurs Modifier

Cette méthode consiste à trouver le déterminant de deux des vecteurs à partir de leur coordonnée. Le déterminant donne l'air du parallélogramme qui renferme deux fois le triangle \widehat{ABC}.


\begin{array}{r c l}
Aire & = & \dfrac{1}{2} \cdot \left|\det\begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A \\ y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}\right| \\
& & \\
& = & \dfrac{1}{2} \cdot |(x_B-x_A) \cdot ( y_C-y_A) - (x_C-x_A) \cdot (y_B-y_A)| \\
& & \\
& = & \dfrac{1}{2} \cdot |(1-7) \cdot (8-3) - (18-7) \cdot (9-3)| \\
& & \\
& = & \dfrac{1}{2} \cdot |-96| \\
& & \\
& = & \dfrac{1}{2} \cdot 96 \\
& & \\
& = & 48
\end{array}

Méthode par le déterminant des 3 sommets Modifier

Cette méthode consiste à trouver le déterminant des trois sommets à partir de leur coordonnée. Le déterminant donne l'air du parallélogramme qui renferme deux fois le triangle \widehat{ABC}.


\begin{array}{r c l}
Aire & = & \dfrac{1}{2} \cdot \left|\det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right| \\
& & \\
& = & \dfrac{1}{2} \cdot |(x_A \cdot y_C) - (x_A \cdot y_B) + (x_B \cdot y_A) - (x_B \cdot y_C) + (x_C \cdot y_B) - (x_C \cdot y_A)| \\
& & \\
& = & \dfrac{1}{2} \cdot |(7 \cdot 8) - (7 \cdot 9) + (1 \cdot 3) - (1 \cdot 8) + (18 \cdot 9) - (18 \cdot 3)| \\
& & \\
& = & \dfrac{1}{2} \cdot |56-63+3-8+162-54| \\
& & \\
& = & \dfrac{1}{2} \cdot 96 \\
& & \\
& = & 48
\end{array}

Références Modifier

Wikipédia:

==

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