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Comment calculer l'aire d'un triangle dans un repère cartésien?

Sommaire

1 Méthode par le produit scalaire
2 Méthode par la formule de Héron
3 Méthode par l'évaluation de la hauteur
4 Méthode par le déterminant de 2 vecteurs
5 Méthode par le déterminant des 3 sommets
6 Références

Il existe plusieurs façons de calculer l'aire d'un triangle. Cela dépend avant tout des données disponibles.

Tout triangle étant la moitié d'un parallélogramme, l'aire d'un triangle équivaut à la moitié de l'aire d'un parallélogramme: $A = \frac{1}{2}\times{b}\times{h}$ , où b représente la base et h la hauteur.

Dans un repère cartésien d'un plan, les données (en l'occurrence, les sommets du triangle) sont présentées sous la forme de coordonnées définies par deux axes de coordonnées: l'abscisse (ou l'axe des X) et l'ordonnée (ou l'axe des Y). Les segments (côtés) du triangle étant caractérisés par des vecteurs, l'aire se calcule facilement à partir du produit vectoriel de deux des vecteurs.

Cependant, il est également possible de calculer l'aire d'un triangle en identifiant la longueur des 3 vecteurs et en utilisant la formule de Héron, ou bien en calculant le déterminant des 3 sommets du triangle, ou encore en calculant le déterminant des coordonnées de 2 des vecteurs, ou enfin en utilisant la formule de base après avoir évalué la hauteur, représentée par la distance entre un des sommets et le côté opposé, et la longueur de la base.

Un des cas les plus simples est celui du triangle rectangle. La hauteur s'identifie rapidement par le fait qu'elle correspond à l'un ou l'autre des deux vecteurs adjacents à l'angle droit.

Afin d'illustrer ce qui vient d'être dit, nous allons calculer l'aire du triangle situé à droite (Fig. 1) de différentes manières.

**Fig.1** Triangle quelconque dans un repère orthonormé dont les sommets ont pour coordonnée cartésienne : A(7,3); B(1,9); C(18,8).
Ajoutée par Wak the vegan

Méthode par le produit scalaire Modifier

Considérons avant tout que le côté AB soit représenté par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ et le côté AC par le vecteur $\overrightarrow{AC}$ . Le produit vectoriel de ces deux vecteurs donne l'aire du parallélogramme qui renferme deux fois le triangle $\widehat{ABC}$ . Notez toutefois qu'il est possible d'alléger l'écriture en remplaçant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ par les vecteurs $\overrightarrow{c}$ et $\overrightarrow{b}$ en référence au nom des segments.

Aire du triangle:
L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ est la norme de leur produit vectoriel :

$S_p = \left\|{ \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\right\|$ .

On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :

$S = \dfrac12 \left\|{ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}}\right\|$ .

Un repère orthonormé étant donné, l'aire du triangle ABC peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.

Dans le plan, si les coordonnées de A, B et C sont données par $A (x A, y A)$ , $B (x B, y B)$ et $C (x C, y C)$ , alors l'aire S est la moitié de la valeur absolue du déterminant

$S=\dfrac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A \\ y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}\right| = \dfrac{1}{2}|(x_B-x_A)( y_C-y_A) - (x_C-x_A) (y_B-y_A)|.$

Méthode par la formule de Héron Modifier

Cette méthode consiste dans un premier temps à déterminer la longueur des 3 côtés du triangle en s'appuyant sur le théorème de Pythagore. Chacun des côtés représente l'hypoténuse d'un triangle rectangle. De ce fait, la longueur d'un côté se calcule d'après la formule suivante: $\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .

Longueur des 3 côtés du triangle:

$\overline{AB}=c=\sqrt{(1-7)^2+(9-3)^2}=\sqrt{72}$

$\overline{AC}=b=\sqrt{(18-7)^2+(8-3)^2}=\sqrt{146}$

$\overline{BC}=a=\sqrt{(18-1)^2+(8-9)^2}=\sqrt{290}$

Demi périmètre:

$p=\frac{\sqrt{72}+\sqrt{146}+\sqrt{290}}{2}$

Aire du triangle:

$\begin{array}{r c l} Aire & = & \sqrt{p \cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)} \\ & & \\ \ & = & \sqrt{\frac{\sqrt{72}+\sqrt{146}+\sqrt{290}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{72}+\sqrt{146}+\sqrt{290}}{2}-\sqrt{290})\cdot (\frac{\sqrt{72}+\sqrt{146}+\sqrt{290}}{2}-\sqrt{146})\cdot (\frac{\sqrt{72}+\sqrt{146}+\sqrt{290}}{2}-\sqrt{72})} \\ & & \\ \ & = & 48 \end{array}$

Méthode par l'évaluation de la hauteur Modifier

Cette méthode consiste à évaluer la hauteur AE (voir Fig.2) afin d'utiliser la formule de base $A = \frac{1}{2}\times{b}\times{h}$ . Pour se faire, il nous faut déterminer l'équation de la droite passant par BC, puis calculer la distance entre le point A et la droite.

Équation de la droite passant par BC:

$\begin{array}{r c l} y-y_B & = & \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B} \cdot (x - x_B) \\ & & \\ y-9 & = & \dfrac{8 - 9}{18 - 1} \cdot (x - 1) \\ & & \\ y & = & \dfrac{-1}{17} \cdot (x - 1) + 9 \\ & & \\ y & = & \dfrac{-x + 154}{17} \end{array}$

Sous la forme $a x + b y + c = 0$ => $\dfrac{-1}{17}x -y + \dfrac{154}{17} = 0$ ( $a=\dfrac{-1}{17}$ ; $b = - 1$ ; $c=\dfrac{154}{17}$ ).

Distance entre A et la droite passant par BC (hauteur h):

$\begin{array}{r c l} h & = & \dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ & & \\ \ & = & \dfrac{|\dfrac{-1}{17} \cdot 7 + (-1) \cdot 3 + \dfrac{154}{17}|}{\sqrt{\left( \dfrac{-1}{17} \right)^2 + (-1)^2}} \\ & & \\ \ & = & \dfrac{96}{17} \cdot \sqrt{\dfrac{289}{290}} \\ \end{array}$

Aire du triangle:
$\begin{array}{r c l} Aire & = & \dfrac{b \cdot h}{2} \\ & = & \dfrac{\sqrt{290} \cdot \dfrac{96}{17} \cdot \sqrt{\dfrac{289}{290}}}{2} \\ & = & 48 \end{array}$

La base b équivaut à $\overline{BC}=\sqrt{290}$ déterminé dans la méthode 2.

Une seconde solution est possible mais plus longue. Elle consiste à trouver l'équation de la droite passant par AE en plus de celle passant par BC, afin de déterminer les coordonnées du point d'intersection E appartenant à la hauteur issue du sommet A qui croise le côté opposé BC. Une fois les coordonnées du point E trouvées, il ne reste plus qu'à évaluer la longueur de la hauteur AE et appliquer la formule de base.

Équation de la droite passant par AE:
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs (ou angulaires) est égal à -1. Soit $D_1 \equiv y = m_1x+p$ et $D_2 \equiv y = m_2x+p$ alors $D_1 \perp D_2$ si et seulement si $m_1 \cdot m_2 = -1$ . Donc si le coefficient directeur de la droite passant par BC équivaut à $m_1=\frac{-1}{17}$ , celui de la droite perpendiculaire à BC, et donc passant par AE, équivaut à $m 2 = 17$ .

$\begin{array}{r c l} y-y_A & = & m_2 \cdot (x - x_A) \\ y-3 & = & 17 \cdot (x - 7) \\ y & = & 17x -119 + 3 \\ y & = & 17x - 116 \end{array}$

Coordonnées du point E:
Pour trouver les coordonnées du point E, il faut soumettre les équations des deux droites dans un système d'équations linéaires afin de retrouver les deux inconnues x et y qui représentent l'intersection des deux droites.

$\left\{ \begin{array}{r c l} y & = & \dfrac{-x + 154}{17} \\ y & = & 17x - 116 \end{array} \right.$

$\begin{array}{r c l} \dfrac{-x + 154}{17} & = & 17x - 116 \\ -x + 154 & = & 289x - 1972 \\ -x - 289x & = & -154 - 1972 \\ -290x & = & -2126 \\ x & = & \dfrac{2126}{290} \\ \end{array}$

Si $x = \dfrac{2126}{290} \Rightarrow y = 17 \cdot \dfrac{2126}{290} - 116 = \dfrac{2502}{290}$ .

Les coordonnées du point sont $E \left( 7+\dfrac{48}{145}, 8+\dfrac{91}{145} \right)$

Longueur de la hauteur AE:

$\begin{array}{r c l} \overline{AE} & = & \sqrt{ \left( 7+\dfrac{48}{145}-7 \right)^2+ \left( 8+\dfrac{91}{145}-3 \right)^2} \\ \ & = & \sqrt{ 31 + \dfrac{113}{145}} \end{array}$

Aire du triangle:
$\begin{array}{r c l} Aire & = & \dfrac{b \cdot h}{2} \\ & = & \dfrac{\sqrt{290} \cdot \sqrt{ 31 + \dfrac{113}{145}}}{2} \\ & = & 48 \end{array}$

Méthode par le déterminant de 2 vecteurs Modifier

Cette méthode consiste à trouver le déterminant de deux des vecteurs à partir de leur coordonnée. Le déterminant donne l'air du parallélogramme qui renferme deux fois le triangle $\widehat{ABC}$ .

$\begin{array}{r c l} Aire & = & \dfrac{1}{2} \cdot \left|\det\begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A \\ y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}\right| \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2} \cdot |(x_B-x_A) \cdot ( y_C-y_A) - (x_C-x_A) \cdot (y_B-y_A)| \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2} \cdot |(1-7) \cdot (8-3) - (18-7) \cdot (9-3)| \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2} \cdot |-96| \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2} \cdot 96 \\ & & \\ & = & 48 \end{array}$

Méthode par le déterminant des 3 sommets Modifier

Cette méthode consiste à trouver le déterminant des trois sommets à partir de leur coordonnée. Le déterminant donne l'air du parallélogramme qui renferme deux fois le triangle $\widehat{ABC}$ .

$\begin{array}{r c l} Aire & = & \dfrac{1}{2} \cdot \left|\det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right| \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2} \cdot |(x_A \cdot y_C) - (x_A \cdot y_B) + (x_B \cdot y_A) - (x_B \cdot y_C) + (x_C \cdot y_B) - (x_C \cdot y_A)| \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2} \cdot |(7 \cdot 8) - (7 \cdot 9) + (1 \cdot 3) - (1 \cdot 8) + (18 \cdot 9) - (18 \cdot 3)| \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2} \cdot |56-63+3-8+162-54| \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2} \cdot 96 \\ & & \\ & = & 48 \end{array}$

Références Modifier

Wikipédia:

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